9. Прикладные задачи

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому \(P=σST^4\), где \(P\) — мощность излучения звезды (в Вт), \(σ=5{,}7\cdot10^{-8}\) \(\frac{Вт}{м^2·К^4}\) — постоянная, \(S\) — площадь поверхности звезды (в м²), а \(T\) — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \(\frac1{2401}⋅10^{22}\, м^2\), а мощность её излучения равна \(5{,}7\cdot10^{26}\,Вт\). Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон \(pV^k=6{,}4\cdot10^6\) Па·м⁵, где \(p\) - давление в газе в паскалях, \(V\) - объём газа (в м³), \(k=\frac53\). Найдите, какой объём \(V\) (в м³) будет занимать газ при давлении \(p\), равном \(2 \cdot 10^5\) Па.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием \(f=30\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 см до 40 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана - в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \(\dfrac1{d_1}+\dfrac1{d_2}=\dfrac1{f}\). На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0=24\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a=3\) м/с². За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь \(S=v_0t-\dfrac{at^2}2\) (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 90 метров. Ответ дайте в секундах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=192\) Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза \(v\) (в м/с) по закону \(f(v)=\dfrac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\)(Гц), где \(c\) - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 8 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c=300\) м/с. Ответ дайте в м/с.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=60\)км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=18\)км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S=v_0 t+\dfrac{a t^2}{2}\), где \(t\) - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 21 км. Ответ дайте в минутах.

Сила тока \(I\) (в А) в электросети вычисляется по закону Ома: \(I=\dfrac{U}{R}\), где \(U\) - напряжение электросети (в В), \(R\) - сопротивление подключаемого электроприбора (в Ом). Электросеть прекращает работать, если сила тока превышает 5 А. Определите, какое наименьшее сопротивление может быть у электроприбора, подключаемого к электросети с напряжением 220 В, чтобы электросеть продолжала работать. Ответ дайте в омах.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет \(R_1=36\) Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого \(R_2\) (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями \(R_1\) и \(R_2\) их общее сопротивление \(R\) вычисляется по формуле \(R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) (в км/ч²). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) - пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1 км, приобрести скорость 120 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v\) (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f\) (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле \(f=f_0\cdot\dfrac{c+u}{c-v}\), где \(f_0=160\) Гц - частота исходного сигнала, \(c\) - скорость распространения сигнала в среде (в м/c), а \(u=8\) м/с и \(v=11\) м/с - скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц? Ответ дайте в м/с.

Два тела, массой \(m=6\) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \(v=9\) м/с под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q=mv^2\sin^2\alpha\), где \(m\) - масса (в кг), \(v\) - скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \(2\alpha\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 243 Дж. Ответ дайте в градусах.

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(f_0=295\) Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(f\) (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза \(v\) (в м/с) и изменяется по закону \(f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}\) (Гц), где \(c\) - скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(c=300\) м/с. Ответ дайте в м/с.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0=15\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a=2\) м/с². За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь \(S=v_0t-\dfrac{at^2}2\) (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 36 метров. Ответ дайте в секундах.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием \(f=36\) см. Расстояние \(d_1\) от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 см до 50 см, а расстояние \(d_2\) от линзы до экрана - в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение \(\frac1{d_1}+\frac1{d_2}=\frac1{f}\). На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону \(H(t)=at^{2}+bt+H_0\), где \(H\) - высота столба воды в метрах, \(H_0=8\) м - начальный уровень воды, \(a=\frac1{72}\) м/мин² и \(b=-\frac{2}{3}\) м/мин - постоянные, \(t\)- время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость погружения батискафа \(v\) (в м/с) вычисляется по формуле \(v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}\), где \(c=1500\) м/с - скорость звука в воде, \(f_0\) - частота испускаемых импульсов (в МГц), \(f\) - частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) (в мг) уменьшается по закону \(m=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) - начальная масса изотопа (в мг), \(t\) - время, прошедшее от начального момента, в минутах, \(T\) - период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: \(T(t)=T_0+bt+at^2\), где \(t\) - время (в мин.), \( T_0=1600\) K, \(a=-5\) К/мин², \(b=105\) К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) (мг) - начальная масса изотопа, \(t\) (мин.) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(φ=ωt+\dfrac{\beta t^2}{2}\), где \(t\) — время в минутах, \(ω=15°/мин\) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\beta=6°/мин²\) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Опреелите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки φ достиг 2250°. Ответ дайте в минутах.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=3\) моль воздуха при давлении \(p_1=1{,}4\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\) в атмосферах. Работа, \(A\) (в Дж) совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=a\nu T\log_{2}{\dfrac{p_2}{p_1}}\), где \(a=10{,}9 \frac{Дж}{моль \cdot К}\) - постоянная, \(T=300\,К\) - температура воздуха. Найдите давление \(p_2\) воздуха в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(29430\,Дж\). Ответ дайте в атмосферах.

Два тела, массой \(m=9\) кг каждое, движутся с одинаковой скоростью \(v=6\) м/c под углом \(2\alpha\) друг к другу. Энергия (в Дж), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле \(Q=mv^2 \sin^2{\alpha}\), где \(m\) - масса (в кг), \(v\) - скорость (в м/с). Найдите, под каким углом \(2\alpha\) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 81 Дж. Ответ дайте в градусах.

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями \(u\) и \(v\) (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала \(f\) (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле \(f=f_0\cdot\dfrac{c+u}{c-v}\), где \(f_0=140\) Гц - частота исходного сигнала, \(c\) - скорость распространения сигнала в среде (в м/c), а \(u=15\) м/с и \(v=14\) м/с - скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 150 Гц? Ответ дайте в м/с.

В розетку электросети подключена электрическая духовка, сопротивление которой составляет \(R_1=21\) Ом. Параллельно с ней в розетку предполагается подключить электрообогреватель, сопротивление которого \(R_2\) (в Ом). При параллельном соединении двух электроприборов с сопротивлениями \(R_1\) и \(R_2\) их общее сопротивление \(R\) вычисляется по формуле \(R=\dfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}\). Для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 18 Ом. Определите наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя. Ответ дайте в омах.

К источнику с ЭДС \(ε=180\) В и внутренним сопротивлением \(r=1\) Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением \(R\) (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле \(U=\dfrac{εR}{R+r}.\) При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В? Ответ дайте в омах.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону \(φ = ωt + \dfrac{\alpha t^2}{2}\), где \(t\) — время в минутах, \(ω = 50°/мин\) — начальная угловая скорость вращения катушки, а \(\alpha = 4°/мин²\) — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Опреелите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если известно, что за это время угол намотки φ достиг 2500°. Ответ дайте в минутах.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=2\) моль воздуха при объём \(V_1=120\,л\) , медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\) (в л). Работа \(A\) (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением \(A=\alpha \nu T \log_2{\dfrac{V_1}{V_2}}\), где \(\alpha=8{,}7\,\frac{Дж}{моль\cdot К}\) – постоянная, \(T=300\, К\) – температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в \(10440\, Дж\). Ответ дайте в литрах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=3500 \,км/ч^2\). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 70 км/ч.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону \(h(t)=1{,}4+9t-5t^2\), где \(h\) – высота в метрах, \(t\) – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a\) км/ч². Скорость вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 км, приобрести скорость 80 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) (мг) - начальная масса изотопа, \(t\) (мин.) - время, прошедшее от начального момента, \(T\) (мин.) - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 196 мг. Период его полураспада составляет 4 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 49 мг?

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса \(m\) (в мг) уменьшается по закону \(m=m_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\), где \(m_0\) – начальная масса изотопа, \(t\) – время (в минутах), прошедшее от начального момента, \(T\) – период полураспада (в минутах). В начальный момент времени масса изотопа 20 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=90\)км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=16\)км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S=v_0 t+\dfrac{a t^2}{2}\), где \(t\) - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

К источнику с ЭДС \(ε=130\) В и внутренним сопротивлением \(r=1\) Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением \(R\) (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле \(U=\dfrac{εR}{R+r}.\) При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 120 В? Ответ дайте в омах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением \(a=4500 \,км/ч^2\). Скорость \(v\) (в км/ч) вычисляется по формуле \(v=\sqrt{2la}\), где \(l\) — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 90 км/ч.

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 185 МГц. Скорость погружения батискафа \(v\) (в м/с) вычисляется по формуле \(v=c\cdot\frac{f-f_0}{f+f_0}\), где \(c=1500\) м/с - скорость звука в воде, \(f_0\) - частота испускаемых импульсов (в МГц), \(f\) - частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 20 м/с. Ответ дайте в МГц.

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в К) от времени работы: \(T(t)=T_0+bt+at^2\), где \(t\) - время (в мин.), \( T_0=1380\) K, \(a=-15\) К/мин², \(b=165\) К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1800 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени \(\nu=3\) моль воздуха объёмом \(V_1=16\) л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма \(V_2\) (в л). Работа (в Дж), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=a\nu T\log_{2}{\frac{V_1}{V_2}}\), где \(a=9{,}9\) Дж/моль⋅К - постоянная, а \(T=300\) К — температура воздуха. Найдите, какой объём \(V_2\) станет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 26730 Дж. Ответ дайте в литрах.

Водолазный колокол, содержащий \(\nu=6\) моль воздуха при давлении \(p_1=2{,}5\) атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления \(p_2\) (в атмосферах). Работа (в Джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле \(A=a\nu T\log_{2}{\dfrac{p_2}{p_1}}\), где \(a=5{,}75\frac{Дж}{моль \cdot К}\) - постоянная, \(T=300\,К\) - температура воздуха. Найдите, какое давление \(p_2\) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.

Автомобиль, движущийся со скоростью \(v_0=23\) м/с, начал торможение с постоянным ускорением \(a=2\) м/с². За \(t\) секунд после начала торможения он прошёл путь \(S=v_0t-\dfrac{at^2}2\) (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 132 метра. Ответ дайте в секундах.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью \(v_0=70\)км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением \(a=16\)км/ч². Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле \(S=v_0 t+\dfrac{a t^2}{2}\), где \(t\) - время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 123 км. Ответ дайте в минутах.